섀넌의 도깨비에 대한 수학적 분석(2)

앞에서 혼자 열심히 끄적거린 흔적을 정리했었는데 내 계산이 맞았는지, 그리고 가능하면 좀 더 쉽고 깔끔하게 정리할 순 없을까 싶어 제미니를 호출했다.
꼬리에 꼬리를 물어물어들어가다보니 테일러 급수니 로그정규분포니 하면서 대학원 수학을 끄집어냈다. 그런거 다 까먹었다고 버럭 화를 내면서 쉽게 유도해보라고 하니 깔끔하게 정리해줬다. 내 결론이 틀린 건 아니라 다행인데, 괜히 헛고생한거 같아 허탈하다. 1년 전 AI 수준으론 지금처럼 답해주지 못했을거라고 애써 위안하는 중이다.

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1. 기하평균과 산술평균 간의 근사식

자산이 평균수익률(m)을 중심으로 위아래로 동일하게 s만큼 한번씩 움직인다고 가정하면, 첫 번째 시기에는 \( (m+s) \), 두 번째 시기에는 \( (m-s) \)의 수익률을 보인다.
산술평균은 \( {(m+s) + (m-s)} /2=m \), 표준편차는 평균 m 에서 떨어진 거리이므로 s 가 된다.
그럼 기하평균 g 는 \( (1+g)^2 = (1+m+s)(1+m-s) = (1+m)^2 - s^2 \) 식에서 구할 수 있다.
이 때, 수익률 g와 m이 크지 않다고 가정하고 근사식 \( (1+x)^2 = 1+2x \) 을 이용하면 위 식은 \( 1+2g = 1+2m - s^2 \)로 근사할 수 있다.
이를 정리하면 \( g = m - s^2/2 \) 이 되는데, 이 식은 자산이 출렁이면(변동 s 발생), 그 변동성이 복리효과를 깍아먹어 실제수익률(기하평균 g)는 산술평균(m)보다 낮아진다는 사실을 보여준다.

2. 섀넌의 도깨비 유도

자산의 산술평균수익률을 m, 변동성(표준편차)를 s이라 하고 주식비중 r로 리밸런싱하는 포트폴리오를 가정하고(현금의 수익과 변동성은 0) 위 식을 적용해보자.
포트폴리오의 산술평균 : \( m_p= r \times m \)
포트폴리오의 변동성 : \(s_p= r \times s \)
기하평균 수익률 : \( g_p = rm - (rs)^2/2 \)

주식비중 r 인 포트폴리오의 수익률 \( g_p = rm - (rs)^2/2 \)가 최대가 되는 r을 찾기 위해 r로 미분하면
$$ \frac{\mathrm{d}g_p }{\mathrm{d} x} = m-r s^2 = 0 $$
에서 최적의 투자비중은 \( r=m/s^2 \) 가 된다.
그런데 오리지널 섀넌의 도깨비에선 자산의 복리수익률(g)을 0 으로 가정하므로 \( g= m- s^2/2 = 0 \)에서 \( m = s^2 /2 \)이다.
두 식을 합하면 \( r = (s^2/2) / s^2 = 1/2 \)이 되므로 자산성장률이 0인 오리지널 섀넌의 도깨비 모델에서 수익률을 극대화 하는 주식의 최적비중은 50%임을 확인할 수 있다.

다음으로 주식몰빵(r=1)의 수익률 \( g = m - s^2/2 \)와 비교해 수정된 섀넌의 도깨비 \( (0<r<1) \)전략의 수익률이 주식몰빵전략보다 높으려면 \( g_p > g \)가 되어야 한다.
$$ rm - (rs)^2/2 > m - s^2/2 $$
이 부등식을 정리하면,
$$ m(r-1) > s^2/2 * (r^2-1) $$
\((r-1) \)로 양변을 나누되 \( r-1 < 0 \)이므로 부등호 방향이 바뀐다.
$$ m < s^2/2 \times (r+1) $$

r이 1에 가깝다면(주식 비중이 아주 높다면), 위 부등식은 \( m < s^2 \)가 되어 자산의 성장성(m)이 변동성영향(s^2)보다 작을 때 현금을 살짝 섞는 게 유리하다.

 

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제미니가 설명한 내용을 내 기준으로 재정리한 위의 내용을 다시 제미니에게 입력하고 정리하라고 시켰더니 훨씬 깔끔하게 출력해준다. 허탈하다.