Kelly's Criterion

 

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Kelly criterion - Wikipedia

 

투자가 아니더라도 도박에 관심을 가진 사람이라면 켈리의 공식 에 대해 들어봤을 것이다.

도박에서 무조건 돈을 딸 수 있는 전략이 있다면 믿을 수 있을까? 마틴게일 전략이라고 하는 이 전략은 그야말로 간단하다. 승률 50%의 게임을 하다 져서 돈을 잃으면 다음 판에 판돈을 두배로 올린다. 또 지면? 다시 판돈을 두배로 올린다. 또 지면? 반복...

연거푸 지더라도 언젠가 한번만 이기면 결국 처음 판돈만큼은 이익을 얻을 수 있다는 원리인데... 사람들이 바보도 아닌데 왜 이런 전략이 있는데도 도박에서 돈을 잃는 걸까?

마틴게일 전략(묻고 따블로 가!) 는 이론과 달리 현실에선 한계가 있기 때문이다. 1만원으로 시작해서 10번 지고나면 다음 베팅은 1024만원을 해야 한다. 그런데 이 시점에서 자금이 바닥나버렸다면? 망했어요.

 

그럼 올인, 혹은 몰빵하지 않고 보다 안정적으로 게임을 유지해 나가려면 과연 판돈을 얼마나 걸어야 좋을까? 이 질문에 대한 답을 구하기 위해 만들어진 것이 켈리의 공식이다.

켈리의 공식 기본형태는 다음과 같다. $$ f=\frac{p}{a}-\frac{q}{b} $$

여기서 p는 게임에서 이길 확률, q는 질 확률, b는 이겼을 때 증가비율, a는 졌을 때 감소비율이고 f는 총 자산 중 매 게임 시 걸어야 할 판돈의 비율이다. a와 b의 정의가 헷갈릴 수 있는데 정리해두고 넘어가자. 게임 전 Y원이 있었다면 승리 시 상금 bY를 받아 자본금은 (1+b)Y, 패배 시 벌금 aY를 내고 자본금은 (1-a)Y 원이 된다.

 

예를 들어 동전전지기에서 앞이 나오면 (이길 확률 50%) 판돈의 2배(b=2)를 받고, 뒤가 나오면(질 확률 50%) 판돈을 모두 잃는(a=1) 게임을 생각해보자. 이 경우 f = 0.5/1 - 0.5/2 = 0.25가 되니 매번 가진 돈의 25%를 베팅하는 게 적절하다는 계산이 나온다.

반면 이길 확률 p가 30%로 낮아지면 어떻게 될까? f = 0.3/1 - 0.7/2 = -0.05 로 베팅비율이 0보다 작으니 이런 게임은 안하는 게 답이라는 의미가 된다.

 

켈리 공식의 증명은 고등학교 때 배운 로그와 미분만 알면 이해할 수 있는 수준이니 참고하자.

 

도박에서 시작된 켈리 공식은 사실 투자관점에서 유용하게 사용할 수 있다. 사실 도박이나 투자나 거기서 거기 아니던가. 매월 초에 S&P500을 사고 월말에 팔고 다음달에 다시 새로운 게임으로 반복하는 경우를 생각해보자. 그럼 내 자산의 얼마를 사고 현금을 얼마나 보유해야 할지 계산이 가능하다. 최근 5년 정도 월별 S&P500 지수데이터를 정리해서 실제로 계산해보았다.

5년동안 60번(6개월)의 게임을 하는 셈이고 이 중 주가가 오른 달은 40번, 내린 달은 20번이었으면 p=40/60=0.67, q=1-p=0.33 이다. 주가가 오른 달의 평균 상승률 b=4.05%, 내린 달의 평균 하락률 a=4.76% 였다. 확실히 주가가 빠질 때 급하게 빠지는 게 나타난다. 그럼 이제 비율을 계산해보면, 

$$  f = \frac{p}{a}-\frac{q}{b}  =  \frac{0.67}{0.0476}- \frac{0.33}{0.0405} = 5.9 $$

어라? 5.9? 590%? 대출을 받거나 6배 레버리지까지 써서 몽땅 S&P500에 투자하라고?
그만큼 최근 S&P500의 성과가 좋았다는 말이기도 하다. 하지만 켈리 공식은 어디까지나 승률과 상금을 알고 있다는 현실적으로 불가능한 가정이 들어간만큼, 실제 적용시엔 켈리 비율의 절반, 혹은 1/4만 사용하는 보수적인 전략을 추천하는 경우도 많다고 한다.

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여기까지가 보통 일반적인 켈리 공식에 대한 이야기이고, 좀 더 실제 투자과정과 비슷하게 접근하기 위해 수익률이 연속인 경우를 생각하면 켈리 비율은 다음과 같이 계산된다.

$$  f=\frac{\left (\mu-r  \right )}{s^{2}} $$

mu는 평균수익률, r 은 무위험수익률, s 는 표준편차, s^2는 분산이다.
식을 보면 아주 익숙한 형태로 투자효율을 언급할 때 자주 등장하는 샤프지수를 표준편차로 한번 더 나눈 값임을 알수 있다. 즉, 켈리비율 = 샤프지수/표준편차 이다.

위와 마찬가지로 2020년 이후 SPY의 실적을 적용해보자.
2020년이후 SPY의 CAGR 13.7%, 표준편차 20.3% 를 적용하고 무위험수익률을 3%로 가정하면

$$ f = \frac{\left (\mu-r  \right )}{s^{2}}  =  \frac{ (0.137- 0.03) }{ 0.203^{2} }=2.6$$
이렇게 계산해도 역시 적정 투자비율은 100%보다 큰 260%가 나온다. 켈리 공식을 믿는다면 S&P500 의 2배 이상의 레버리지 상품에 몰빵하는 게 좋다는 말이다. 

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이렇게 보면 켈리의 비율은 이론적으론 검증된, 무적의 투자공식이라고 생각할 수도 있다. 그런데 문제는 카지노의 게임과 달리 주식시장에선 승리확률과 상금을 정확히 알 수 없다는 점이다. 예를 들어 처음 예처럼 매달 주식이 오를 확률 p= 60%이고 주식이 오르면 수익률 b=4%로 고정된 말도 안되게 간단한 경우를 생각하자. 아래 그림처럼 40% 확률로 주식이 내릴때 손해율 a가 5%에서 6% 사이에서 약간만 변해도 투자비중인 켈리비율은 200%(레버리지 투자)에서 0% (투자하지 않음)까지 급격하게 변하는 걸 알 수 있다.