레버리지 ETF 위험성 검토 : 최적 레버리지 배수

https://kvasir21.tistory.com/266

레버리지 ETF 위험성 검토 : 왜 '존버'가 아닌 'VR'인가?

 

앞선 글에서 다하지 못한 세부적인 전개과정을 수식을 이용해 깔끔하게(?) 정리해보자.

 

어떤 자산이 첫해에 s 만큼 오르고 다음 해에 s만큼 떨어졌다고 하자. 산술평균은 0이지만 실제 내 계좌에 남는 기하평균 수익률 g는 다르다.

$$ (1+s)(1-s)=1-s^2 $$ 

2년 동안 s^2 만큼 손실이 발생했으니 이를 1년 단위로 근사하면 s^2 /2 만큼의 손해가 발생한다. 즉, 기하평균 수익률g은 산술평균 R 에서 변동성 페널티를 뺀 값이다.

$$ g = R - \frac{s^2}{2} $$

 

레버리지 배수를 L이라고 할 때, 수익률과 변동성은 모두 L배가 된다. 여기에 대출이자 r_f와 운용보수 E_xp를 포함한 금융비용 COST를 고려해야 한다.

$$ COST = (L-1)r_f + E_{xp} $$

이 비용을 반영한 레버리지 복리수익률 g_L은 다음과 같이 정리된다.

$$ g_L = LR - \frac{(Ls)^2}{2} - \{(L-1)r_f + E_{xp}\} $$

여기서 산술평균 R을 위에서 구한 R = g + s^2 /2 로 치환해 정리하면 레버리지 배수에 따른 수익률 구조가 명확해진다.

$$ g_L = Lg - \frac{s^2}{2}L(L-1) - \{(L-1)r_f + E_{xp}\} $$

 

수익률 g_L을 최대로 하는 L을 찾기 위해 위 식을 L로 편미분해서 0이 되는 지점을 찾아보자.

$$ \frac{\partial g_L}{\partial L} = g - Ls^2 + \frac{s^2}{2} - r_f = 0 $$

$$ L^* = \frac{1}{2} + \frac{g - r_f}{s^2} $$

이 레버리지 배수가 가장 수익성이 높은 값이다.

또한, 이 식을 다시 산술평균 R의 관점으로 되돌리면 ( g=R-s^2/2 ), 익숙한 형태의 식이 나타난다.

$$ L^* = \frac{R-r_f}{s^2} $$

 

바로 켈리 비율이다. 실제로 켈리 비율은 장기적인 기하 수익률의 극대화를 찾다 보니 수학적으로 켈리 공식과 일치하는 결론에 도달했다. 결국 최적의 레버리지 배수는 기초자산의 초과 수익률에 비례하고, 변동성의 제곱(분산)에 반비례한다. 

그래도 처음 식을 정리할 때만 해도 생각하지 못했는데 결과를 보고 켈리 비율을 떠올린 나 자신이 대견하다. 몇 년 동안 공부한 게 헛되진 않았나보다. 뿌듯하다.

 

닷컴버블이 지난 2003년부터 2026년 현재까지 VOO와 QQQ의 대략적인 실적은 다음과 같다.

항목	VOO(S&P500)	QQQ(나스닥100)
CAGR	약 11%	약 15%
변동성	약 18%	약 25%

 

위 식에서 변동성을 18%(VOO), 25%(QQQ)로 고정시키고 CAGR에 따라 최적 레버리지 배수를 그려보았다.

그래프에서 크게 표시한 부분이 실제 CAGR 실적에 해당하는 위치이다. 계산에 따르면 VOO는 약 2.2배, QQQ는 약 2배 레버리지가 최적이라는 결론이 나온다. 물론, 이 값이 정확할 리는 없다. 변동성이 약간만 변해도 최적 레버리지 배수는 크게 움직인다. 다만 지금같은 강세장에선 야수의 심장을 가지고 레버리지를 사용하는 게 효과적이란 건 확실해보인다. 

 

그런데 난 현자의 심장을 가지고 있잖아? 안되겠네.