지식 전달의 힘: 일상 언어와 수학적 수식의 차이

1. 서론: 복잡한 현상의 명확한 전달

우리가 일상에서 접하는 다양한 현상들은 언어로 설명할 수 있지만, 때로는 그 본질이나 원리를 명확하게 전달하는 데 한계가 있다.

특히 주식투자처럼 복잡한 확률적 현상은 일상용어로 풀어 설명하면 이해는 쉽지만, 정확성과 객관성이 떨어질 수 있다. 이럴 때 수학적 수식은 복잡한 현상을 간결하게 표현하고, 그 원리를 오해의 여지 없이 명확하게 전달하는 강력한 도구이다. 이 측면에서 일상적인 설명과 수식적 표현의 차이를 살펴보자(이렇게 말하는 나 역시 수학 전공은 아니다. 단지 물리와 수학 같은 분야에 로망이 있는 공돌이일 뿐).

주식투자 시 장기투자가 되면 위험이 감소해가는 현상을 설명할 때 아래 세 가지 방식을 사례로 들어 비교해보자.

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2. Level 1: 일상용어로 풀어서 설명하기

유명한 S&P 500에 투자한다고 가정한다. 평균적으로 연 10%씩 상승한다고 하지만, 어떤 해에는 30%가 올라갈 수도 있고, 어떤 해에는 -20%로 손해를 볼 때도 있다.

하지만 10년, 20년 오랫동안 계속 투자하는 동안, 상식적으로 10년 동안 계속 손해를 보는 경우는 일어나지 않을 거라는 느낌적인 느낌이 든다. 손해와 이익이 골고루 발생하다 보면, 어쩌다 큰 손해를 보더라도 그 효과는 묻혀서 크게 드러나지 않는다. 결국 최종적인 수익률은 평균값 근처가 되고, 장기투자(존버 투자)가 승리할 가능성이 높은 것이다.

 

예시

• 1년 투자: +30%, -20%, +10% 등 변동이 크다.
• 10년 투자: 해마다 변동이 있지만, 전체적으로 평균에 가까운 수익률에 수렴하는 경향을 보인다.
• 20년 투자: 단기적인 손실이 있더라도, 장기적으로는 평균 수익률에 더욱 가까워진다.

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3. Level 2: 수학적인 언어로 설명하기

주식은 채권이나 예금 같은 안전자산보다 변동성(표준편차)이 큰 것은 사실이다. 하지만 장기투자할 경우 확률이론의 '큰 수의 법칙' 혹은 '중심극한정리'에 따라 수익은 평균에 수렴하고 그 편차는 줄어든다.

• 큰 수의 법칙 (Law of Large Numbers): 독립적인 실험(투자)을 반복할수록, 그 평균값은 이론적인 진짜 평균(기댓값)에 가까워진다.
• 중심극한정리 (Central Limit Theorem): 여러 번의 독립적인 투자 결과를 평균내면, 그 평균은 정규분포를 따르고, 그 분산(변동성)은 투자 횟수에 반비례하여 줄어든다.

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4. Level 3: 수식으로 표현하기

주식의 연간 수익률이 평균  μ , 분산 σ ^2 인 정규분포 N( μ , σ ^2)를 따른다고 가정한다. 여기서 분산( σ ^2)은 위험(변동성)을 나타내는 지표이다.

주가의 수익률이 정규분포 N(μ,σ^2) 를 따른다고 가정하면, 두개의 독립적인 정규분포 N(μ1,σ1^2), N(μ2,σ2^2) 의 합은 N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2) 으로 평균(수익률)과 분산 각각 합산한 정규분포가 된다.

만일 투자기간n년 동안 반복적으로 투자한다면, n개 정규분포의  평균수익률은 nμ, 분산은 nσ^2 가 된다. 이를 1년 단위로 환산하면 평균수익률의 분포는 기간 n으로 나눈 N(μ,σ^2/n) 이 된다.

• 평균 수익률 μ 은 투자 기간 n에 관계없이 변화가 없다.
• 표준편차(변동성)는 n의 제곱근에 반비례해서 감소한다.

즉, 투자 기간 n이 클수록 변동성은 감소하게 된다. 이것이 장기투자 시 위험이 줄어드는 현상의 수학적 근거이다.

 

만약 S&P 500의 연간 수익률의 표준편차 σ 가 20%라고 가정하면,

• 1년 투자(n=1): 변동성 = 20% / 1 = 20%
• 4년 투자(n=4): 변동성 = 20% / 2 = 10%
• 16년 투자(n=16): 변동성 = 20% / 4 = 5%

결과적으로, 투자 기간이 4배 늘어나면 변동성은 절반으로 줄어든다는 것을 수식을 통해 명확하게 확인할 수 있다.

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5. 결론: 지식 전달의 효과적인 도구, 수식

위 세 가지 방식은 모두 동일한 현상에 대한 서술이다.

1. 일상용어로 풀어 설명하는 것은 현상을 쉽게 이해하는 데 도움이 되지만, 복잡한 원리나 정확한 관계를 전달하는 데는 한계가 있다.
2. 수학적인 원리를 이용해 설명하면 명확하게 핵심을 전달할 수 있다.
3. 아예 핵심이 되는 수식으로 정리할 수 있다면 한 줄의 수식으로 위의 모든 내용을 축약할 수도 있다.

수식은 오해의 소지가 없고 논리적이며 객관적이다. 물론 수학적인 지식과 이해가 선행되어야 깔끔한 전달이 가능하다. 실제로 공학 전공자 지인에게 위 내용을 설명했을 때, 마지막 정규분포 식 N( μ,σ^2/n)을 보여주니 "아! 그렇구나!"라고 깔끔하게 전달이 끝난 일화는 이를 방증한다.

어떤 현상을 깊이 이해하고 명확하게 전달하고자 할 때, 수식적 표현을 활용하는 것이 매우 효과적이다. 이는 주식투자뿐만 아니라 다양한 분야에서 지식을 체계적으로 정리하고 공유하는 데 중요한 역할을 한다.

물론, 현실의 주식 시장은 수익률이 완벽한 정규분포를 따르지 않는 만큼 Fat Tail과 같은 극단적인 현상 (예: 글로벌 금융 위기)이 발생할 가능성은 항상 존재한다. 이는 본 수식의 가정적 한계이다. 그럼에도 불구하고, 장기투자 시 주식의 위험이 감소한다는 것은 금융 공학에서 매우 중요한 기본 원리임은 확실하다.